第3回:効用最大化
pblk0001.png
01.予算制約
02.効用最大化
03.需要関数
pblk0002.png
1.予算制約
消費者の予算を考えます。消費者の所得をmath0001.pngmath0002.pngの定数)とし、第1財と第2財の価格
math0003.pngmath0004.pngで一定)、購入量をmath0005.png(非負の実数)とおきます。そして消
費者は所得をすべて使いきると仮定します。すると、消費者は所得の範囲内でしか財を購
入できないので、
 math0006.png …(3-1)
が成り立ちます。これが予算制約式です。
なお、財の種類を重さで計測できる食料品などにすることで、その財の購入量を非負の実
数値にまで拡張できます。このような性質を財の分割可能性といいます。
(3-1)において、math0007.pngのときmath0008.pngmath0009.pngのときmath0010.pngですから、予算制約
式は2点math0011.pngを通る直線です。この2点を結ぶと2財の購入可
能な組み合わせを示す予算線が現れます。予算線の傾きmath0012.pngは二財の価格比です。
予算線を図示すると以下になります。グラフの下にある表は、点math0013.pngがそれぞれどのよ
うな状態かを表しています。
pblk0003.png
2.効用最大化
消費者の効用関数を、
math0014.png
とし、予算制約式を、
math0015.png
とすると、
消費者は予算制約式を満たすmath0016.pngの組み合わせのうち、効用関数によって求めら
れる効用の値が最大になるものを選びます。これが効用の最大化です。
以下の2つの仮定をもとに、無差別曲線と予算線を同じ図の中に描きます。
1.二財とも消費者にとって望ましい。すなわち二財の限界効用は正とする。
2.二財は不完全な代替財である。すなわち限界代替率逓減の法則が成立する。
pblk0004.png
以上から、予算線上で効用を最大にする点はmath0017.pngであり、これは予算線と無差別曲線が接
する点です。そして、予算線の傾きはmath0018.pngであり、無差別曲線の傾きはmath0019.pngです
から、効用最大化が達成されるmath0020.png点では、両者の傾きが等しくなります。すなわち、
 math0021.png …(3-2)
が成り立ちます。左辺を限界効用で表現すると、
 math0022.png …(3-3)
が得られます。これらが効用最大化条件です。逆に、価格比と限界代替率が等しくないとき
は、予算制約の範囲内で購入量を変えることで、より高い満足が得られます。これを命題化
しておきましょう。
§pblk0005.png
予算制約のもとで効用を最大にする消費者は、限界代替率すなわち二財の限界効用
の比が二財の価格比に等しくなるような消費量の組み合わせを選ぶ。
pblk0006.png
上の効用最大化条件を変形して、
 math0023.png …(3-4)
が得られます。各辺の値は限界効用を財の価格で割ったものです。これも命題化しておき
ましょう。
§pblk0007.png
予算制約のもとで効用を最大にする消費者は、所得の最後の1円の効用つまり貨幣の
限界効用が均等するような消費量の組合わせを選ぶ。(加重限界効用均等の条件
pblk0008.png
3.需要関数
財の価格と所得が所与のもとで、消費者が効用を最大化するように選ぶ財の量の組み合
わせを需要とすると、需要math0024.pngは価格と所得math0025.pngの関数です。それを、
 math0026.png
 math0027.png …(3-5)
と書き、関数math0028.pngワルラスの需要関数といいます。ここでは、math0029.pngは未知の数で
あり、math0030.pngはパラメータです。
需要関数について以下の命題が成り立ちます。
§pblk0009.png
需要関数は価格と所得に関して0次同次の関数である。需要は価格と所得の比だけ
に依存し、価格と所得の比例的変化は需要を変化させない。すなわち任意のmath0031.png
ついて、
 math0032.png
 math0033.png …(3-6)
が成立する。
pblk0010.png
この命題を証明しておきましょう。
§pblk0011.png
価格と所得が同時にmath0034.png倍になったときの予算制約式は
 math0035.png
である。このときの効用最大化の条件は、
 math0036.png
である。これらは、所得と価格が変化する前の予算制約式
 math0037.png
と効用最大化の条件
 math0038.png
に等しい。
pblk0012.png
math0039.png
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