第6回:逆三角関数と微分
pblk0001.png
01.アークサイン関数の微分
02.アークコサイン関数の微分
03.アークタンジェント関数の微分
pblk0002.png
1.アークサイン関数の微分
アークサイン関数の微分について、以下の公式が成立します。
 math0001.png …(6-1)
これを証明しましょう。
§pblk0003.png
math0002.pngとおくと、逆関数の定義より、
 math0003.png
となる。(注1)この両辺をmath0004.pngで微分すると、
 math0005.png
 math0006.png
  math0007.png (ただしmath0008.png) …@
一般に、math0009.pngであるから、math0010.pngに注意すると、
 math0011.png
これを@に代入して、
 math0012.png (ただし、math0013.png
したがって、
 math0014.png(注2)
pblk0004.png
注について解説しましょう。
注1まず、math0015.pngの逆関数はmath0016.pngです。逆も言えます。そして、アークサインの
の定義域はmath0017.pngですから、それに応じて値域はmath0018.pngです。
注2アークサインの定義より、その定義域はmath0019.pngとなり、証明の過程でmath0020.pngです
から、math0021.pngとなったのです。
2.アークコサイン関数の微分
アークコサイン関数の微分について、以下の公式が成立します。
 math0022.png …(6-2)
これを証明しましょう。
§pblk0005.png
math0023.pngとおくと、逆関数の定義より、
 math0024.png
となる。この両辺をmath0025.pngで微分すると、
 math0026.png
 math0027.png
  math0028.png (ただしmath0029.png) …@
一般に、math0030.pngであるから、math0031.pngに注意すると、
 math0032.png
これを@に代入して、
 math0033.png (ただし、math0034.png
したがって、
 math0035.png
pblk0006.png
3.アークタンジェント関数の微分
アークタンジェント関数の微分について、以下の公式が成立します。
 math0036.png …(6-3)
これを証明しましょう。
§pblk0007.png
math0037.pngとおくと、逆関数の定義より、
 math0038.png(注1)
となる。この両辺をmath0039.pngで微分すると、
 math0040.png
 math0041.png
  math0042.png …@
一般に、math0043.pngであるから、
 math0044.png つまり math0045.png
これを@に代入して、
 math0046.png
したがって、
 math0047.png
pblk0008.png
注について解説しておきましょう。
注1)math0048.pngについてアークタンジェントの定義域は全ての実数である一方で、値域
math0049.pngです。アークサインやアークタンジェントの微分の証明ではルー
トをはずす際にこれを利用しましたが、アークタンジェントの証明では、これを用いる場
面はありません。
math0050.png
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